Unidad 5: Transformaciones Lineales
5.1 Introducción a las transformaciones lineales
Definición: Las transformaciones lineales son las funciones
y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por
es lineal.
Entonces:
Por otro lado, para todo escalar c,
Como se cumplen las dos
condiciones:
T es lineal.
Aquí un vídeo para explicar mejor el tema: https://www.youtube.com/watch?v=NYA9PNPgDHA
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal
1. Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean
V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). La
imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:
im(T): = w ∈
W: ∃v
∈
V tal que w = T(v).
2. Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean
V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El
núcleo (kernel, espacio nulo) de T se
define como la preimagen completa del vector nulo:
ker(T): = x ∈
V: T(x) = 0W.
3. Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un
subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un
campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces ker(T) es un subespacio de V.
4. Proposición (la
imagen de una transformación lineal es
un subespacio vectorial del condominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre
un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W.
Aquí un video para explicar mejor el tema: https://www.youtube.com/watch?v=cyuGo5FFfek
5.3 Representación matricial de una transformación lineal
Definición y Matriz de transformación
Así como se pueden representar operadores lineales como
matrices, cualquier transformación lineal entre espacio lineal entre espacios
vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.
Sea T: Rn →
Rm una transformación lineal, de acuerdo a los
teoremas de representación matricial, solo existe una matriz única de m
x n, la matriz de transformación AT, donde toda x
pertenece a Rn y donde w representa la x transformada, de
modo que la transformación de x es igual a x multiplicada por la
matriz de transformación.
La matriz de transformación, representada por AT,
es la representación matricial de T, la operación que convierte o transforma el
vector original al vector resultado. La matriz de transformación está definida
usando las bases estándar en Rn y Rm, por
lo que, si se utilizan bases distintas, la matriz de transformación es
diferente.
Aquí un vídeo para explicar mejor el tema: https://www.youtube.com/watch?v=pqhR-83Nrhg
5.4 Aplicación de las trasformaciones lineales
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión,
expansión, contracción y rotación
Rm. Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se
conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas
propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales, si son
tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden
reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una
transformación lineal es T: Rn
Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se
entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico
de lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales
proporcionan una visión dinámica y gráfica de la multiplicación matriz-vector.
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es
graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este
es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación
realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse
también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es
llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto
a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen
espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible
expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza
habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de
multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término
escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2,
3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto
obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso
de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una
dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para
el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya
la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje
mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en
forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de
las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para
la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos
en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3).
Aquí un vídeo para explicar mejor el tema:
https://www.youtube.com/watch?v=J4fNy6qu_J0
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